Kompetenzzentrum für mathematische Modellierung in MINT-Projekten in der Schule

Modellierungswoche "Mobilität und Energie", Januar 2017

Die Themen im Überblick

Thema 1: Parkplatzkonzept der TU Kaiserslautern

Thema 2: Der Opelkreisel in Kaiserslautern: Wie schaltet man eine Ampelschaltung in einem Kreisverkehr?

Thema 3: Bike-Sharing

Thema 4: Das Braess-Paradoxon

Thema 5: Stromspeicherung mit E-Autos

Thema 6: Ausbau eines E-Tankstellen-Netzwerkes

Thema 7: Sichere "Freunde" beim Klettern

Thema 8: Start-Stopp Batterien

Thema 1: Parkplatzkonzept der TU Kaiserslautern

Die Schülerinnen und Schüler haben sich mit der Frage beschäftigt, unter welchen Bedingungen sich die Erhebung von Parkplatzgebühren und vielleicht auch der Bau eines Parkhauses am Campus der TU Kaiserslautern lohnen würde. Das ist insofern schwierig zu beantworten, da kostenpflichtige Parkplätze einen erheblichen Einfluss auf die Frage nehmen können, ob ein Student oder Mitarbeiter mit dem Auto zur Uni fahren, oder nicht lieber den öffentlichen Verkehrsmitteln oder sogar dem Fahrrad den Vorzug geben würde.

Die Schüler haben zunächst zahlreiche Daten zur TU, zur Stadt Kaiserslautern, den umliegenden Ortschaften und zum Busverkehr gesammelt. Diese wurden schließlich in einer Computersimulation verwendet, welche über einen mehrjährigen Zeitraum abbilden sollte, wie viele Personen pro Tag sich dafür entscheiden, mit dem Auto zur TU zu fahren. Die Simulation berücksichtige verschiedene äußere Einflüsse, wie etwa Jahreszeiten und die Vorlesungszeiträume, sowie Angaben über die Anzahl der Studenten und Mitarbeiter.

Die Simulation sollte ermöglichen, bereits vorab zu ermitteln, welche Parkgebühren erhoben werden müssen, damit sich ein Parkhaus vorgegebener Größe für einen Investor lohnen würde. Durch die Abhängigkeit der Simulation von einigen Parametern, die vom Anwender eingegeben werden können, kann darüberhinaus das mathematische Modell flexibel an sich ändernde Daten angepasst werden.
Nach Ansicht der Schülerinnen und Schüler würde sich ein Parkhaus in der Tat lohnen. Die von ihnen verwendeten Parameter müssten jedoch nach eigener Aussage noch einmal genauer geprüft werden - etwa durch eine Meinungsumfrage unter den Universitätsangehörigen - um die Daten zu verifizieren.

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Thema 2: Der Opelkreisel in Kaiserslautern: Wie schaltet man eine Ampelschaltung in einem Kreisverkehr?

Im Rahmen der Neueröffnung eines IKEA-Möbelgeschäftes auf einem Teil des ehemaligen OPEL-Geländes in Kaiserslautern im Juni 2015, wurde eine Ampelanlage in den Kreisverkehr "Opelkreisel" integriert. Die Einführung dessen führte zu Beginn zu langen Staus rund um den Opelkreisel.
Mit Hilfe von Verkehrsaufzeichnungsdaten bestand die Aufgabe für fünf Schülerinnen und Schüler darin, eine Ampelschaltung für den Opelkreisel in Kaiserslautern zu konzipieren, die selbst zu Stoßzeiten einen hohen Verkehrsfluss im und um den Kreisverkehr garantiert.

Um dieses Problem zu lösen, begannen die Schülerinnen und Schüler zunächst damit, aus den zur Verfügung stehenden Daten ein durchschnittliches Verkehrsaufkommen für die drei Phasen, Stoßzeit morgens, Tagesverkehr, sowie Stoßzeit abends zu berechnen.

Mit Hilfe der so gewonnenen Daten, sowie weiteren Annahmen über die durchschnittliche Verweildauer, der Durchschnittsgeschwindigkeit, sowie der Reaktionszeit für Anfahren und Abbremsen der Verkehrsteilnehmer im Kreisverkehr, berechneten die Schülerinnen und Schüler mehrere Schaltmöglichkeiten, bis sie sich auf drei verschiedene Schaltungen für die einzelnen Verkehrsphasen einigten, die sie in einer Computersimulation validierten.

Dabei zeigte sich, dass eine Verkehrsplanung des Opelkreisels ohne Ampelschaltungen in Stoßzeiten zu erheblichen Verkehrsproblemen führen würde, welche bei der generierten Schaltung der Schülerinnen und Schüler nicht zu beobachten war. Somit konnten die Schülerinnen und Schüler die Aufgabenstellung innnerhalb der Modellierungswoche mit einem äußerst zufriedenstellenden Ergebnis bewältigen.

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Thema 3: Bike-Sharing

Die Aufgabe in diesem Projekt war es, ein Bike-Sharing Konzept, mit oder ohne E-Bikes, für die Stadt Kaiserslautern zu entwickeln, um dadurch die Verkehrs- und Parkplatzsituation rund um die Universität zu entschärfen.
Nach einer Einarbeitungsphase in das Thema wurde relativ schnell versucht mit Echtdaten zu arbeiten. Hierzu wurden sowohl Pendlerdaten von Studierenden, als auch die Kosten für ein solches Fahrradkonzept recherchiert und in die Planung eingearbeitet. Hierbei wurde klar, dass E-Bikes mit relativ hohen Kosten zu Buche schlagen.

Nach einer Umfrage unter den Mitschülerinnen und Schülern wurde auch schnell klar, dass das Interesse an E-Bikes ziemlich gering ist. Daraufhin haben sich die Schülerinnen und Schüler auf gewöhnliche Fahrräder beschränkt. Hierbei wurde eine Methode entwickelt, mit der bestimmt werden kann, wie viele Fahrräder im Umlauf sein müssen, so dass möglichst viele Interessenten auch ein Rad zum Leihen bekommen können.

Zusätzlich wurde ein Finanzierungsmodell für ein Bike-Sharing Konzept für Kaiserslautern erstellt. Abschließend gab es erste Ansätze zur optimalen Streckenwahl, je nach Verkehrs- und Wetterbedingungen.

Ein Fazit des Projekts ist, dass der Hype um E-Bikes anscheinend für Kaiserslautern eine relativ geringe Rolle spielt. Darüber hinaus kam heraus, dass ein flächendeckendes Bike-Sharing Konzept für Kaiserslautern und die Studierenden mit annehmbaren zusätzlichen Kosten möglich sein und umgesetzt werden sollte.

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Thema 4: Das Braess-Paradoxon

Hohe Verkehrsaufkommen in dicht besiedelten Innenstädten gehen oft einher mit längeren Fahrzeiten und großer Frustration der Verkehrsteilnehmer. In diesem Projekt haben sich sechs Schülerinnen und Schüler gemeinsam in die Rolle eines Städteplaners versetzt, der diesem Problem durch infrastrukturelle Maßnahmen, z.B. den Bau neuer Straßen, entgegentreten soll. Entgegen der ersten Intuition kann der Bau neuer Straßen den Verkehrsfluss allerdings verschlechtern, und die Sperrung gewisser Straßen den Verkehrsfluss sogar verbessern. Was ist die Ursache dieses (Braess-)Paradoxons? Wie kann man die Kenntnis darüber nutzen, um den Verkehrsfluss zu verbessern?

Zur Beantwortung solcher Fragen wurde die Situation anhand des illustrativen Beispiels in der folgenden Abbildung analysiert. Im Anschluss modellierten die Schüler ein allgemeines Straßennetz als gewichteten Graphen. Sie entwickelten einen Algorithmus, der für ein beliebiges Netzwerk solche Straßen identifiziert, deren Schließung unter den gewählten Voraussetzungen eine Verbesserung des Verkehrsflusses bewirken würden.
Während ihrer Recherchen sind die Schülerinnen und Schüler dabei auf Konzepte wie das Kürzeste-Wege-Problem und das Nash-Gleichgewicht gestoßen, und haben diese für ihre Lösung des Problems verwendet.

Mit großer Motivation haben die Schülerinnen und Schüler ihre eigene Strategie zur Lösung dieses spannenden Problems entwickelt. Dabei haben sie unter anderem einen sehr guten Eindruck davon gewonnen, dass die Lösung komplexer Probleme oft nur durch den Einsatz von Computern und effizienten Algorithmen realisierbar ist.

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Thema 5: Stromspeicherung mit E-Autos

Die Stromerzeugung mit Hilfe von Wind, Sonne und Wasser hängt stark von Umwelteinflüssen ab. Aus diesem Grund ist es notwendig, dass Strom in Zeiten mit Überangebot gespeichert werden kann. In Zeiten geringer Stromausbeute kann der Mangel dann durch die gespeicherte Energie ausgeglichen werden. Im Rahmen des Projektes sollte untersucht werden, inwiefern zu diesem Zweck die Nutzung der Akkukapazität aller auf der Straße befindlichen Elektroautos ein praktikables Konzept darstellt.

Nach kurzer Recherche waren die Größenordnungen der zu speichernden Energien und die zur Verfügung stehenden Akkukapazitäten kalkuliert. Die Schülerinnen und Schüler beschäftigten sich dann mit der Frage, welche Technologien überhaupt für den Transfer der Energie vom Netz in stehende oder fahrende Autos zur Verfügung stehen. Dabei wurden Ladesäulen und experimentelle Induktionsladestreifen auf Autobahnen betrachtet.

Nachdem diese Rahmenbedingungen festgestellt waren, begannen die Schüler und Schülerinnen mit der Gestaltung einer Simulation, die eine Gesamtenergiebilanz eines Tagesverlaufs aufstellen sollte. Beteiligte Komponenten waren zum einen virtuelle Solar- und Windkraftwerke und eine Menge virtueller Elektroautos auf den Straßen mit einer gewissen Speicherkapazität. Energieoutput der Kraftwerke, sowie Laderaten und Energieverbrauch der Autos wurden basierend auf Realdaten nachmodelliert.

Als Resultat kann festgehalten werden, dass die Anzahl der Elektroautos sowie die möglichen Aufladeraten massiv erhöht werden müssten, um die schiere Menge an überschüssiger Energie zu Spitzenzeiten effizient aufzunehmen. Eine Anwendung des vorgestellten Konzeptes ist erst mit weiterentwickelten Technologien in der Zukunft vorstellbar.

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Thema 6: Ausbau eines E-Tankstellen-Netzwerkes

Elektro-Autos sind bei Autofahrern immer öfter im Gespräch. Die Hemmschwelle, sich ein solches Auto anzuschaffen, ist allerdings immer noch groß. Der Grund dafür ist unter anderem der Mangel an E-Tankstellen. Das E-Tankstellen-Netzwerk ist in großen Teilen des Bundesgebiets noch nicht gut ausgebaut, so dass die Nutzung eines E-Autos nicht für alle Bürger komfortabel möglich ist. Die Frage ist demnach, wie man das Tankstellennetzwerk ausbauen muss, um mehr Autofahrer dazu zu bewegen, auf ein E-Auto umzusteigen. Mit dieser Frage beschäftigten sich die Schülerinnen und Schüler während der Modellierungswoche.

Die Schülerinnen und Schüler haben sich auf ein räumliches Gebiet ihrer Wahl beschränkt und versucht, verschiedene Faktoren zu finden, die es „wichtiger“ machen, dass eine Tanksäule in Reichweite ist. Außerdem haben sie den aktuellen Zustand in dem von ihnen gewählten Gebiet recherchiert.

Anfangs wählten die Schülerinnen und Schüler ein einfaches planares Modell, in dem sie ein Standortproblem lösten. Diese Lösung erschien ihnen jedoch zu ungenau und wenig an der Realität orientiert. Darum erhofften sie sich, durch einen Input ein genaueres und realistischeres Modell erstellen zu können. Dies gelang ihnen. Im Zuge dessen lernten die Schülerinnen und Schüler neue mathematische Inhalte und eine Software kennen, mit der es möglich ist, verschiedene Optimierungsprobleme zu lösen. Diese nutzten sie, um ihre gesammelten Daten zu verwerten, die sie vorher so bearbeitet hatten, dass ein für die Schülerinnen und Schüler vernünftiges Modell entstand.

Als Ergebnis präsentierten die Schülerinnen und Schüler ein Tankstellennetzwerk für das gewählte Gebiet. Um ihren Algorithmus zu überprüfen, wandten sie ihn auf ein weiteres Gebiet in Rheinland-Pfalz an. Auch hier kam ein Netzwerk heraus, mit welchem die Schülerinnen und Schüler zufrieden waren und das sie für realistisch erachteten. Als weiteren Schritt sahen die Schülerinnen und Schüler, eine Rangordnung der zu bauenden Tankstellen festzulegen, falls nicht alle Säulen zeitgleich errichtet werden können.

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Thema 7: Sichere "Freunde" beim Klettern

Im Jahre 1967 wurde der Klettersport durch Klemmgeräte – später auch Friends genannt – revolutioniert. Diese Geräte lassen sich in verschieden breiten Rissen platzieren und halten im Falle eines Sturzes durch Reibung an den Wänden. Bis dahin konnte lediglich in nach unten hin enger werdenden Rissen eine Sicherung in Form von Keilen gelegt werden. Diese mussten jedoch genau in den Riss passen. Ansonsten musste mit viel Aufwand ein Haken geschlagen oder gebohrt werden. Durch die neue Erfindung braucht man nicht mehr so viele verschiedene Keile, da ein Friend ein ganzes Intervall an verschiedenen Rissbreiten abdeckt und sogar in Rissen platziert werden kann, die sich nach unten hin öffnen.

Die einzelnen Klemmbacken werden dabei durch Federkraft „nach außen gepresst“. D. h. für das Anbringen in einem Spalt muss man zuerst an der Feder ziehen, so dass die Backen sich drehen und der Friend dadurch möglichst schmal wird. Durch Loslassen der Feder gehen die Klemmbacken dann wieder nach außen, und der Friend ist dadurch stabilisiert.

Die Schülerinnen und Schüler dieses Projekts beschäftigten sich aus Sicht einer Outdoor-Firma mit den folgenden Fragen:

1.      Wie ist das möglich, dass auch nach unten offene Risse mittels Friends Halt geben können?

2.      Welche Form der Klemmbacken würdet ihr entwickeln bzw. empfehlen?

3.      Welche Einsatzbereiche (Spaltbreite und -form, Felsart) hätte euer Produkt?

4.      Es gibt auch Formen mit zwei „Achsen“. Was ändert sich dadurch?

Da die Schülerinnen und Schüler zunächst keine Ahnung davon hatten was ein Friend ist und wie er beim Klettern verwendet wird, haben sie die erste Zeit damit verbracht zu recherchieren und Videos zur Thematik anzusehen. Für die Aufgabe wurden auch einige reale Friends zur Verfügung gestellt, an denen die Schülerinnen und Schüler die Funktionsweise untersuchen konnten.

Nach der Recherchephase haben sie sich sehr schnell in zwei Untergruppen geteilt, wobei sich eine Gruppe mit der Berechnung der Klemmbacken beschäftigte und die andere Gruppe weiter nach verschiedene Bauweisen recherchierte. Die Schülerinnen und Schüler beschäftigten sich unter anderem mit Berechnungen, der Festigkeit von Werkstoffen und dem Bau eines Prototyps aus Holz.

Am Ende der Woche waren die Schülerinnen und Schüler sehr stolz auf ihre Leistungen. Insbesondere darauf, mit Hilfe ihrer mathematischen Kenntnisse in kurzer Zeit einen funktionierenden Prototypen herzustellen. Wie auch bei den anderen Gruppen, war aber auch hier die Zeit sehr knapp. Die Schülerinnen und Schüler hätten noch sehr interessante Ideen gehabt, an denen sie im weiteren Verlauf noch arbeiten hätten können.

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Thema 8: Start-Stopp Batterien

Start-Stopp Batterien (SSB) sorgen dafür, dass der Motor von Autos beim Stehen vor Ampeln oder Staus ausgeschaltet wird. Dadurch soll unnötiger Verbrauch an Treibstoff vermieden und die Umweltbelastung durch den Autoverkehr reduziert werden. Im postfaktischen Zeitalter hört man immer wieder, dass sich das Ganze gar nicht lohnt, weil es in der Summe nichts bringt und für den einzelnen Kraftfahrer durch die Mehrkosten bei der Anschaffung von Autos und geeigneten Batterien zu teuer ist. Die Schülergruppe sollte sich als Beraterteam fühlen, das angeheuert worden ist, um diesen Gerüchten nachzugehen. Einige spezielle Fragen wurden ihr gestellt (man gibt ihr aber auch die Freiheit, weitere Fragen zu stellen und zu beantworten, die ihr sinnvoll erscheint):

  1. Können Sie die Reduzierung der Umweltbelastung in Abhängigkeit der im Straßenverkehr vorhandenen SSB berechnen?
  2. Können Sie die oben geäußerten Meinungen bestätigen oder widerlegen?
  3. Würden Sie Politikern raten, die Start-Stopp Technik zu subventionieren? Falls ja: Können Sie eine Empfehlung für einen Subventionsplan für 3, 4 oder 5 Jahre aufstellen?

Im Rahmen der Projektwoche haben die Schülerinnen und Schüler die funktionale Abhängigkeit zwischen der Nutzungszeit von SSB und den Kosten für die einzelnen Autofahrer bzw. den Vorteilen bei der Einsparung von CO2 untersucht. Dabei wurden u.a. der zusätzliche Aufwand bei der Produktion von SSB und die Kosten für Nachrüstung älterer Fahrzeuge berücksichtigt. Es wurden erste Modelle der linearen Optimierung betrachtet, mit denen man durch geeignete Wahl von Nebenbedingungen optimale Subventionsentscheidungen berechnen kann.

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Kontakt

Technische Universität Kaiserslautern, Fachbereich Mathematik
Gottlieb-Daimler-Straße
Gebäude 48
67663 Kaiserslautern

Postfach 3049
67653 Kaiserslautern

E-Mail: komms@mathematik.uni-kl.de


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