Kompetenzzentrum für mathematische Modellierung in MINT-Projekten in der Schule

Felix-Klein-Modellierungswoche, 13. bis 18. Februar 2022

Vom 13. bis 18. Februar 2022 fand nun (endlich) wieder eine Modellierungswoche in Präsenz statt. 30 Schüler:innen und 4 Lehrkräfte arbeiteten gemeinsam mit Betreuer:innen des KOMMS in der Woche an spannenden Modellierungsprojekten. Alle Projekte der Veranstaltung standen im Zusammenhang mit dem Thema "Winter". Neben der Mathematik, die natürlich im Vordergrund stand, genossen die Schüler:innen, gemeinsam vor Ort in einer Gruppe an einem Projekt zu arbeiten. Folgende Themen wurden behandelt:

  • Thema 1: Optimale Ausleuchtung einer Skipiste
  • Thema 2: Gestaltung eines Ablaufplans der Olympischen Winterspiele
  • Thema 3: Schlittenfahren: Vollgas sicher gebremst
  • Thema 4: Modellierung von Tageslängen im Jahresverlauf
  • Thema 5: Wie viel Willkür steckt in Kombi-Sportarten?

Thema 1: Optimale Ausleuchtung einer Skipiste

Den Schülern wurde die Aufgabe gestellt, eine Skipiste mit einem Beleuchtungssystem auszustatten. Dabei sollten verschiedene Vorgaben der FIS eingehalten werden. So musste man beachten, dass die Skipiste sowohl gleichmäßig ausgeleuchtet ist, als auch, dass eine Mindestbeleuchtungsstärke auf allen Teilen der Piste erreicht wird. Unter Erfüllung dieser Vorgaben sollte dann ein Beleuchtungssystem entwickelt werden, welches mit möglichst wenigen Strahlern auskommt.

Die Schüler mussten sich zunächst mit den physikalischen Grundlagen des Problems befassen. Dazu zählte vor allem der Umgang mit verschiedenen physikalischen Größen zur Beschreibung von Lichtverhältnissen. Weiterhin musste sich die Gruppe in verschiedene Diagramme einarbeiten, die auf Herstellerseiten von Lichtquellen zu finden sind. Diese mussten interpretiert und für das Modell sinnvoll vereinfacht werden. Anhand solcher Diagramme können Abstrahlwinkel (in verschiedenen Ebenen) des Strahlers und die Streuung, die in Abhängigkeit von der Entfernung von der Quelle produziert werden, abgelesen werden.

Diese recherchierten Informationen mussten nun mathematisiert werden. Vor allem mussten komplexe Daten vereinfacht werden, um ein mathematisches dreidimensionales Modell eines Strahlers und seines Lichtkegels zu erstellen. Auch bezüglich der betrachteten Skipiste mussten Vereinfachungen vorgenommen werden. Zu Beginn der Projektarbeit hat die Gruppe eine rechteckige (aber variabel breite) Piste vorausgesetzt. Der erste Ansatz, Strahler mittig über die Piste zu platzieren, wurde aufgrund verschiedenster Überlegungen schnell verworfen. Für den zweiten Ansatz konzentierte sich die Gruppe auf die Platzierung der Strahler am Rand der Piste. Es galt, die Strahler so zu setzen, dass sie den größtmöglichen Bereich auf der Piste ausleuchten, ohne an den Rändern des Lichtkegels zu viel Lichtstärke zu verlieren. Hierbei ergaben sich verschiedene Parameter, die dieses Ziel bestimmten. Zum einen musste der Abstand der Masten, an denen die Strahler befestigt werden, zur Piste bestimmt werden. Dieser wurde variabel gehalten, um auf verschiedene Gegebenheiten der Pisten eingehen zu können. Weiterhin gingen die Abstrahlwinkel der Lampe und der Winkel der Aufhängung am Mast in die Berechnung der Fläche ein, die von einem Strahler auf der Piste ausgeleuchtet werden. Über die Gesamtfläche der Skipiste und die Kenntnis der Fläche, die von einem Strahler ausgeleuchtet werden kann, konnte so eine untere Schranke für die Anzahl an Strahlern für die Piste bestimmt werden. Als weiteres Element im Lösungspozess der Schüler kam nun auch die exakte Position der Masten an der Piste ins Spiel. Hier verwendete die Gruppe ein geschicktes Muster, welches - unter Einbeziehung der Überschneidungen der Lichtkegel - eine möglichste gleichmäßige Ausleuchtung der Piste erzeugt.
Zu beiden Ansätzen haben die Schüler eine aufwändige GeoGebra-Datei erstellt, in der die verschiedenen beschriebenen Kenngrößen eingestellt werden können und die anschließend die Position der Masten aufzeigt. Zusätzlich hierzu werden außerdem die abstrahlenden Lichtkegel eingezeichnet.

Um das Modell auf geschwungene Pisten zu erweitern, haben sich die Schüler überlegt, in welcher Art und wann eine Approximation von Kurven duch Rechtecke sinnvoll ist. Diese Überlegungen konnten teilweise noch umgesestzt werden, sodass für regelmäßige Kurven eine Erweiterung des oben beschriebenen Ansatzes als Annäherung genutzt werden konnte. Diese Überlegungen wurden dann durch das Ende der Modellierungswoche unterbrochen.

Thema 2: Gestaltung eines Ablaufplans für die Olympischen Winterspiele

Im Projekt „Gestaltung eines Ablaufplans der Olympischen Winterspiele“ ist das Ziel, einen solchen zu erstellen. Während den Winterspielen werden zahlreiche Wettbewerbe in unterschiedlichen Disziplinen ausgetragen. Bei der Erstellung eines solchen Zeitplans müssen neben den unterschiedlichen Austragungsorten auch die Regeln der jeweiligen Disziplinen beachtet werden. Außerdem sollte ein Zeitplan abwechslungsreich sein – sei es für die Zuschauer/innen vor Ort als auch vor dem TV aus aller Welt.

Zu Beginn ging es für die Gruppe um die Datenbeschaffung: Welche Sportarten werden an welcher Spielstätte ausgetragen und wie lange dauert eine solche Durchführung? Neben einem Ablaufplan haben sie auch einen Sendeplan erstellt. Für beide Pläne wurden Algorithmen entwickelt, die die Disziplinen innerhalb des Plans nach Kriterien wie Dauer und Reihenfolge von Disziplinen eingeordnet haben. Bei der Erstellung des mathematischen Modells bzw. der Formulierung der Algorithmen wurden Konzepte aus dem Bereich der Optimierung, wie z.B. das Knapsack-Problem, verwendet.

Thema 3: Schlittenfahren: Vollgas sicher gebremst

Wie bremst man einen Schlitten eigentlich richtig? Mit dieser Frage haben sich sechs Schüler im Rahmen des Projektes „Schlittenfahren: Vollgas sicher gebremst“ bei der Modellierungswoche beschäftigt. Folgt man der Empfehlung nach kurzer Internetrecherche, findet man den Rat, beide Füße flach und nahe an den Kufen auf den Boden zu drücken. Dagegen spricht jedoch eine Studie von Medizinern über zahlreiche Schlittenunfälle, die eine stark erhöhte Zahl von Fuß- und Beinverletzungen festgestellt haben. Schaut man sich an, wie die Profis bei Olympia bremsen, stellt man fest, dass sie sich aufrichten und mit den Händen das Vorderteil des Schlittens greifen, den Schlitten zu sich ziehen und damit die Kufen in den Schnee (bei Olympia: ins Eis) drücken und so langsamer werden.

Zunächst haben die Schüler die Gesamtkraft, die auf den Schlittenfahrer wirkt, bestimmt. Sie setzt sich zusammen aus der Hangabtriebskraft, die den Schlittenfahrer beschleunigt und Kräften, die ihn bremsen. Dazu gehört die Bremskraft durch den Luftwiderstand, durch die Reibung und durch die verwendete Bremsmethode. Mit der Gesamtkraft haben die Schüler eine Bewegungsgleichung aufgestellt. Dabei handelt es sich um eine Differenzialgleichung, die die Schüler mithilfe des expliziten Euler-Verfahrens numerisch, d. h. mit dem Computer, gelöst haben. Die Simulation der Schlittenfahrt wurde analysiert und schlussendlich konnte eine klare Empfehlung ausgesprochen werden:
Bei Geschwindigkeiten über 20 km/h sollte man ausschließlich mit den Kufen bremsen, da die Verletzungsgefahr sonst zu groß ist. Ist man langsamer, kann man zusätzlich die Füße rausstellen und auf den Boden drücken, um schneller zum Stillstand zu kommen.

Thema 4: Modellierung von Tageslängen im Jahresverlauf

Den Winter nennt man auch die dunkle Jahreszeit, weil die Tageslängen kürzer als im Sommer sind. Tageslängen unterlaufen im Jahresverlauf eine regelmäßige Änderung. Im Winter sind sie kurz, über das Frühjahr hinweg werden sie länger, bis sie am 21. Juni zur Mitsommerwende ein Maximum erreichen und dann wieder bis zum 21. Dezember abnehmen. Dieser Verlauf wiederholt sich jedes Jahr. Bei genauem Beobachten der Tageslängen können einem dabei noch einige Details auffallen: Im Frühling werden die Tage schneller länger und im Herbst werden die Tage schneller kürzer als im Sommer und im Winter. Ziel des Projekts war es, diese Zusammenhänge zu analysieren und mit mathematischen Modellen zu erklären.

Dafür entwickelten die Schülerinnen und Schüler zwei Vorgehensweisen: Im ersten Ansatz entwickelten sie ein Modell, das die astronomischen Zusammenhänge zwischen Sonne und Erde auf das Wesentliche reduzierte. Anschaulich konstruierte die Gruppe ein Modell in GeoGebra 3D und entwickelte mithilfe der analytischen Geometrie damit eine Formel zur Berechnung von Tageslängen. Im zweiten Ansatz arbeitete die Gruppe mit Daten für Tageslängen, die in den letzten Jahren an unterschiedlichen Breitengraden gemessen wurden. Mit diesen Daten entwickelte sie im Anschluss eine trigonometrische Funktion, die abhängig vom Breitengrad und von der Jahreszeit für zukünftige Zeitpunkte zuverlässige Aussagen über die Tageslänge macht. Trotz unterschiedlicher Ansätze waren die berechneten Tageslängen durch das geometrische Modell und durch die aus den Messdaten aufgestellte Näherungsfunktion nahezu gleich und hatten zu den Realwerten nur sehr geringe Abweichungen.

Thema 5: Wie viel Willkür steckt in Kombi-Sportarten?

Einige Wintersportarten setzen sich aus zwei oder mehreren Teildisziplinen zusammen: Bei der Nordischen Kombination wird erst von einer Schanze gesprungen und danach geht's auf die Loipe. Aber auch beim Biathlon oder bei der Kombination im Ski Alpin gibt es Teilleistungen, die zu einem Gesamtergebnis verbunden werden müssen (Strafen in Folge von Schießfehlern oder Zeiten in Abfahrt und Slalom).
Bei solchen Sportarten muss also festgelegt werden, wie die Ergebnisse in der einen Disziplin mit denen in der anderen Disziplin „verrechnet" werden. So starten bei der Nordischen Kombination  die Läufer:innen zeitversetzt in Abhängigkeit des Sprungergebnisses und irgendwie muss festgelegt werden, wie die Sprungergebnisse zu Zeitboni werden. In diesem Projekt wurden solche Verrechnungsmodelle und deren Auswirkungen unter die Lupe genommen werden. Die Schüler:innen haben unter anderem folgende Fragen adressiert:

  • Wie kam es denn zu den genutzten Verrechnungsmodellen? Kann man die historische Entwicklung nachzeichnen, ja vielleicht sogar mathematisch begründen?
  • Wie robust sind denn die Gesamtklassements in den letzten Jahren? Also: Was passierte mit den Ergebnislisten, änderte man dieses Verrechnungsmodell?
  • Und kann man die Ergebnisse von diesen Kombi-Sportlern irgendwie mit den Ergebnissen von den Spezialisten (also z.B. reine Springer oder reine Läufer) vergleichen? Wie ist denn da das Leistungsverhältnis zu diesen Spezialisten? Hat dieses Verhältnis was mit dem Umrechnungsverfahren zu tun?

Um diese Verrechnungsmodelle besser zu verstehen und analysieren zu können, hat die Schülergruppe unterschiedliche mathematische Repräsentationen verwendet. Mit Geogebra, Tabellenkalkulation und selbstimplementierten Python-Algorithmen wurden die Daten aufbereitet. Danach haben die Schüler:innen strukturmathematische Überlegungen vorgenommen und z.B. mathematisch rigoros bewiesen, welche Datenpunkte bei einer entsprechenden Verrechnungsmethode überhaupt einen Wettbewerb gewinnen können. Besonders interessant war die Erkenntnis, dass der Verrechnungsfaktor eher mit der „Attraktivität“ einer Sportart als mit Fairness-Überlegungen begründet werden kann.

 


Kontakt

Technische Universität Kaiserslautern, Fachbereich Mathematik
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E-Mail: komms@mathematik.uni-kl.de

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