Kompetenzzentrum für mathematische Modellierung in MINT-Projekten in der Schule

Modellierungswoche "Sport und Sportorganisation", Juni 2017

Die Themen im Überblick

  • Thema 1: Klänge synthetisch erzeugen
  • Thema 2: Skate-Nights, Firmenläufe & Co.: Wie findet man gute Rundstrecken?
  • Thema 3: Platzierung von Hilfseinrichtungen um ein Stadion
  • Thema 4: Planung von Bundesjugendspielen
  • Thema 5: Bahnlaufen: Tuning für die GPS-Uhr

Thema 1: Klänge synthetisch erzeugen

In der Welt der Mathematiker und Physiker werden Naturphänomene gerne in einer idealisierten Form präsentiert, um die Einfachheit ihrer Prinzipien in den Vordergrund zu stellen und ihre mathematische Eleganz hervorzuheben. Dass die Natur in Wirklichkeit weit komplexer ist, erkennt man in der Akustik sehr deutlich: Die simpelste Schwingung, die sich ein Mathematiker vorstellen kann, ist die harmonische Schwingung, dargestellt durch eine Sinuskurve. Als akustische Schwingung klingt diese jedoch sehr unangenehm und ist keinesfalls mit den wundervollen Klängen eines Musikinstruments vergleichbar.

Die Teilnehmer dieses Projekts sind den Geheimnissen von Klängen auf den Grund gegangen, haben die zugehörigen Schwingungen mit elektronischer Unterstützung analysiert und schließlich ihre eigenen Klänge am Computer synthetisch erzeugt. Durch gezielte Experimente konnten einige wichtige Charakteristika der Akustik ergründet werden und es gelang den Schülern, das Streichen einer Violine und das Zupfen einer Gitarrensaite erstaunlich gut nachzubilden.

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Thema 2: Skate-Nights, Firmenläufe & Co.: Wie findet man gute Rundstrecken?

Innerstädtische Sportveranstaltungen wie Skate-Nights, Firmenläufe oder Radrennen folgen sehr häufig Rundkursen: Reguläre Straßen werden für den üblichen Verkehr eine Zeit lang gesperrt und nur für die aktiven Teilnehmer der Veranstaltung freigegeben. Die Aktiven starten und enden am selben Punkt. Solche Veranstaltungen zu organisieren, ist insgesamt eine nicht ganz einfache Aufgabe. Eine besondere Herausforderung ist es, den Rundkurs festzulegen. Häufig geschieht das durch „Draufschauen“: die Verantwortlichen setzen sich zusammen, betrachten sich einen Stadtplan und entscheiden sich dann nach einer mehr oder weniger langen Diskussion für eine der möglichen Route. Wenn man sich mal überlegt, wie viele Streckenverläufe möglich sind, wie viele solcher Veranstaltungen es gibt, wie unterschiedlich die Interessenlagen der beteiligten Akteure sind und wie zeitaufwändig dieser Entscheidungsprozess dadurch jedesmal ist, dann liegt es nahe, dass schnelle Algorithmen, die auf guten mathematischen Modellen basieren, helfen können. Vier Schülerinnen und ein Schüler aus unterschiedlichen Schulen stellten sich dieser Herausforderung.


Da die Aufgabenbeschreibung offen gestellt war, diskutierte die Gruppe zunächst mögliche Ziele der Projektarbeit und dazu passende Vorgehensweisen und Lösungsansätze. Schnell war klar, dass man die Rundstrecke für einen (kurzen) Volkslauf, der in der Innenstadt Trier stattfinden sollte, bestimmen möchte. Dazu wurden zunächst GIS-Daten der Stadt Trier von Open Street Map organisiert und aufbereitet. Dabei musste man sich z.B. überlegen, wie man aus einem gegebenen Koordinatenpaar (Längen- und Breitengrad) auf der Oberfläche einer Kugel die Streckenlänge (auf der Kugeloberfläche) zwischen diesen beiden Punkten ausrechnen kann. Für die Schülerinnen und Schüler war klar, dass nicht jede mögliche Straße berücksichtigt werden konnte und somit wurde ein Bewertungsschema festgelegt, dass einzelne Straßen bewertete. Nur solche, die eine ausreichend hohe Bewertungszahl hatten, wurden für die Berechnung einer Route berücksichtigt. Für die Berechnung der Rundstrecke wurde zunächst ein rekursiv-implementierter Enumerationsalgorithmus entwickelt und implementiert. Dieser lieferte relativ kurze Rundstrecken, die dann noch über verschiedene Ideen verlängert wurden (z.B. über die Berücksichtigung von ausgewählten Sehenswürdigkeiten der Stadt). Außerdem wurden Anforderungskriterien sowohl für den Start- und Zielpunkt der Rundstrecke als auch für Kreuzungen (z.B. über den Winkel zweier aufeinanderfolgenden Straßen) formuliert.

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Thema 3: Platzierung von Hilfseinrichtungen um ein Stadion

Bei Großveranstaltungen in und um ein Stadion muss die Sicherheit der Anwesenden gewährleistet sein. Aus diesem Grund sind Polizei, Feuerwehr und Rettungsdienste auf dem Gelände platziert. Die Frage, mit der sich die Schülerinnen und Schüler beschäftigten, war, wo diese Hilfseinrichtungen platziert werden sollen, sodass sie schnell an den Einsatzorten, jedoch nicht im Weg sind. Die Schülerinnen und Schüler haben diese Fragestellung um die Erstellung eines Evakuierungsplanes für das Stadion erweitert.

Die Schülerinnen und Schüler haben sich nach kurzer Besprechung für das Fritz-Walter-Stadion in Kaiserslautern entschieden. Mit der Arbeitsphase beginnend haben sie sich anschließend mit dem Stadion als Gebäude auseinandergesetzt. Dafür haben sie die Architektur analysiert. Da die Beschaffung der Informationen zu dem genauen Plan des Stadions im Internet schwierig war, haben sie das Stadion und die Stadtverwaltung angeschrieben, um an Informationen zu kommen. Leider ist dies nicht gelungen und die Schülerinnen und Schüler haben anhand der wenigen Informationen, die sie im Internet finden konnten und Bildern die Maße des Stadions errechnet.

Anschließend haben sich die Schülerinnen und Schüler mit der Evakuierung des Stadions beschäftigt. Hierfür haben sie eine Formel entwickelt, mit der anhand von Besucherzahlen, Ausgängen von den Rängen in die Stadiongänge und Ausgängen aus dem Stadion heraus die Evakuierungszeit abgeschätzt werden kann. Weiterhin fließt die Größe der jeweiligen Ausgänge in die Formel mit ein.

Parallel zur Evakuierung haben die Schülerinnen und Schüler einen Algorithmus entwickelt, mit dem die Stadionordner auf den Rängen platziert werden.

Abschließend haben die Schülerinnen und Schüler Polizei und Rettungsdienste im und um das Stadion positioniert und Rettungswege für Fußgänger, Busse und Autofahrer definiert.

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Thema 4: Planung von Bundesjugendspielen

An fast jeder Schule gibt es einen Tag im Jahr, an dem die ganze Schule, sowohl Schülerinnen und Schüler als auch Lehrerinnen und Lehrer, sich auf dem Sportplatz einfindet, um die Bundesjugendspiele abzuhalten. Ob die Beteiligten zufrieden oder nicht nach Hause gehen, hängt nicht nur an den gezeigten sportlichen Leistungen, sondern vor allem am Zeitplan, nach dem die Wettkämpfe ablaufen. Ein wichtiges Kriterium spielen dabei die Pausen zwischen den sportlichen Übungen. Manchmal sind sie über zwei Stunden lang, aber vereinzelt gibt es gar keine Pause zwischen den Disziplinen. Fünf Schülerinnen und Schüler stellten sich der Herausforderung, auch im eigenen Interesse, einen besseren Plan zu generieren.

Der Gruppe wurde ein Beispielplan des Gymnasiums Weierhof vorgelegt und sie erhielt neben diesem noch Daten über reale Durchgangszeiten für die einzelnen Disziplinen. Des Weiteren hatten die Fünf eine Liste von Beschwerden aus der Schülerschaft, von den Lehrern und den Vorgaben für den Rahmen der BJS, die das Direktorium stellt, bekommen, so dass der erste Vormittag für die Analyse der Problematik mit all seinen Nebenbedingungen verwendet werden musste. Schnell wurden die Pausen als Hauptmanko bei der Planung herauskristallisiert und erste Ideen für Strategien für eine Neuplanung entwickelt. Es entstand ein algorithmischer Ansatz, der verschiedene Riegen in Blöcke einteilt und diese den verschiedenen Disziplinen zuordnet. Dieser Ansatz wurde im Laufe der Woche weiter verbessert und verfeinert, so dass am Ende ein sehr zufriedenstellender Plan für zukünftige BJS herauskam, bei dem lange Pausenzeiten reduziert wurden. Zusätzlich bot der Plan aber auch Mindestpausenzeiten für die einzelnen Schülergruppen zwischen den Übungen zur nötigen Regeneration.

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Thema 5: Bahnlaufen: Tuning für die GPS-Uhr

Für Läufer, die etwas ambitionierter unterwegs sind, sind neben der reinen Messung der Laufzeit und ggf. von Zwischenzeiten bei ihren Trainings und Wettkämpfen weitere Daten interessant: So ist es durchaus hilfreich, zusätzlich den Puls und die momentane Geschwindigkeit oder Pace (meist in min/km angegeben) sowie am Ende die gelaufene Gesamtstrecke zu kennen.

Dazu verwendet man heute einfach das allgegenwärtige Smartphone, oder man benutzt eine speziell für den Sport entwickelte GPS-Uhr (vgl. Abbildung 1). Schon vor der Verbreitung von GPS-Uhren gab es Sportuhren zur Pulsmessung, die über zusätzliche Laufsensoren auch Informationen zur zurückgelegten Distanz und Pace/Geschwindigkeit liefern. Solche Sensoren werden meist am Schuh befestigt und liefern mit Hilfe von Beschleunigungssensoren diese Zusatzinformationen recht genau. Etwas umständlich ist dabei allerdings die Notwendigkeit, den Sensor für höchste Genauigkeit für den jeweiligen Läufer, die gerade verwendeten Schuhe und im besten Fall auch den zu laufenden Geschwindigkeitsbereich und die Beschaffenheit des Untergrundes zu kalibrieren.

Man könnte nun meinen, dass mit Erfindung der GPS-Uhren die Nutzung weiterer Sensoren überflüssig geworden ist, doch schon bei der Geschwindigkeitsmessung – bzw. der Pace – gibt es im allgemeinen aufgrund lokaler Fehler eine nicht unerhebliche Streuung, die von den Herstellern durch Mittelung über längere Zeitintervalle und diskrete Ausgabe (z.B. nur in 5sec-Schritten) „ausgeglichen“ wird.

Leider versagen die meisten aktuellen Modelle verschiedenster Hersteller beim Training auf einer klassischen 400m-Bahn im Stadion. Hier sollte die Länge einer Runde, gelaufen auf der Innenbahn, ziemlich genau 400m betragen. In der Praxis ergeben sich aber Abweichungen von 5-15%, welche natürlich zu völlig unbrauchbaren Anzeigen für die Pace führen. In Abbildung 2 sieht man die Kartendarstellung eines Trainings über 8km auf der 400m-Bahn der TU Kaiserslautern – die verwendete GPS-Uhr war der Meinung, der Läufer hätte 8.57km zurückgelegt!

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Kontakt

Technische Universität Kaiserslautern, Fachbereich Mathematik
Gottlieb-Daimler-Straße
Gebäude 48
67663 Kaiserslautern

Postfach 3049
67653 Kaiserslautern

E-Mail: komms@mathematik.uni-kl.de


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